ตรรกะของการสะสม
ทุกกรณีใช้งานในหน่วยนี้ (ตั้งแต่ความดันไฮโดรสแตติกไปจนถึงความน่าจะเป็น) อาศัยหลักการเดียวกัน ตรรกะของไรเมียน:
- แบ่งส่วน: แบ่งปริมาณออกเป็นช่วงย่อย $n$ ช่วง
- ประมาณการ: คำนวณคุณสมบัติบนชิ้นเดียวของ "แผ่น" ที่พารามิเตอร์ (เช่น ความลึกหรือความหนาแน่น) ใกล้เคียงกันมาก
- ขอบเขต: หาค่าลิมิตเมื่อจำนวนชิ้นเป็นอนันต์ ทำให้ผลรวมกลายเป็นอินทิกรัลเฉพาะ
การแยกตัวของเมตริก
ตามที่แสดงโดยโครงการค้นพบ (หน้า 545) คุณสมบัติทางเรขาคณิตไม่ได้เกี่ยวข้องกันโดยธรรมชาติ ฟังก์ชันสามารถมีพื้นที่ใต้เส้นโค้งเท่ากันได้ แต่มีความยาวเส้นโค้งที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง ซึ่งพิสูจน์ว่าพื้นที่ไม่เพียงพอในการอธิบายระบบที่ซับซ้อน การอินทิเกรตช่วยให้เราเคลื่อนผ่านมิติได้ — การสะสมเส้นตรง 1 มิติเพื่อหาความยาว การสะสมแผ่น 2 มิติเพื่อหาความดันบนพื้นผิว และการสะสมความหนาแน่นของความน่าจะเป็น 1 มิติเพื่อหาค่าคาดหมาย 0 มิติทั้งหมด
พิจารณาสายเคเบิลยืดหยุ่นที่แขวนระหว่างเสาสองต้น แม้ว่า "พื้นที่" ใต้สายเคเบิลอาจบอกเราได้ว่าแสงถูกบดบังมากแค่ไหน แต่ไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับแรงดึงหรือวัสดุที่ต้องใช้ ในการเข้าใจความจริงทางกายภาพ เราจำเป็นต้องสะสมความยาวของแต่ละชิ้นเล็ก ๆ $ds$ โดยใช้ความยาวเส้นโค้งเชิงอนุพันธ์:
$$ds = \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$$